دنباله هندسی
ژرفنما: ژرف(عمق) + نما(نمایش)
راهنما ابزارها آیکون روز و شب پوشه بالاتر ≡

دنباله هندسی

در قسمت پایین، چهار ورودی اعداد وجود دارد. در سه ورودی، به طور دلخواه، عدد وارد کنید. سپس دکمه محاسبه را کلیک کنید پاسخ، به صورت تشریحی محاسبه شده و نشان داده می شود.





1 - تعریف دنباله هندسی


دنباله هندسیدنباله ای از اعداد است که جملات آن برابر حاصل ضرب یک عدد ثابت در عدد قبلی است. جمله اول آن نیز به دلخواه نوشته می شود. به این مقدار ثابت، قدر نسبت دنباله هندسی می گویند. مثلا عدد 3 را می نویسیم و به تدریج عدد 2 را در آن ضرب می کنیم. دنباله روبرو به دست می آید.

در این دنباله، 3 جمله اول، و 384 جمله n ام و 2 قدر نسبت است. معمولا قدرنسبت را با r نشان می دهند.

 وقتی می گوییم جمله n ام منظور ما مثلا جمله سوم یا جمله صدم و یا ... است در واقع منظور جمله آخر نیست زیرا دنباله هندسی جمله آخر ندارد. یعنی یک دنباله بی نهایت است.

قدر نسبت دنبال هندسیتوجه:
  1.  اگر قدر نسبت، بزرگتر از یک باشد ، دنباله به طور نمایی رشد می کند. 
  2. اگر قدر نسبت، برابر یک باشد ، دنباله ثابت به دست می آید( یعنی تمام جملات آن یکسان می شوند). 
  3.  اگر قدر نسبت، بین صفر و یک  باشد ، دنباله به طور نمایی  کوچک شده و به صفر نزدیک می شود. 
  4. اگر قدر نسبت صفر باشد جملات بعد از جمله اول صفر می شوند.
  5.  اگر قدر نسبت، بین صفر و منفی یک  باشد، دنباله به طور نمایی و یک در میان مثبت و منفی،  کوچک شده و به صفر نزدیک می شود. 
  6. اگر قدر نسبت، برابر منفی یک باشد، دنباله ثابت متناوب به دست می آید( یعنی تمام جملات آن یک در میان باهم هم برابر ولی مثبت و منفی می شوند). 
  7.  اگر قدر نسبت، کوچکتر از منفی یک باشد، دنباله به طور نمایی  و به طور یک در میان مثبت و منفی رشد می کند. 

دقت کنید که علاوه بر قدر نسبت، علامت جمله اول نیز باید در نظر گرفته شود.


مثال 1: جمله اول یک دنباله هندسی 10 است
  1.  یک دنباله مثال بزنید که رشد نمایی داشته باشد.
  2.  یک دنباله مثال بزنید که به صفر میل می کند.
پاسخ:
  1. قدر نسبت را به دلخواه 3 انتخاب می کنیم. دنباله عبارت است از: 10 ، 30 ، 90  ، 270 ، ....
  2. قدر نسبت را به دلخواه 1/3 انتخاب می کنیم. دنباله عبارت است از: 10/3 ، 10/9 ، 10/27 ، 10/81 ، ...


2 - محاسبه جمله عمومی یا جمله n ام دنباله هندسی


محاسبه جمله عمومی یا جمله n ام دنباله هندسیبه تصویر روبرو دقت کنید. می خواهیم الگوی مناسب را پیدا کنیم.

جمله دوم یعنی a2 برابر است a1 r

جمله سوم یعنی a3 برابر است a1 r2

جمله چهارم یعنی a4 برابر است a1r3

جمله صدم یعنی a100 برابر a1r99  است

مشاهده می کنید هر جمله را که بخواهیم حساب کنیم باید جمله اول را در (n-1)r ضرب کنیم.

توجه: جمله n ام یک دنباله هندسی به صورت زیر بیان می شود  an = a1 r(n-1)

مثال 2: جمله اول یک دنباله هندسی برابر 2 و قدر نسبت آن 3 است. جمله 12 این دنباله چند است؟
پاسخ:
پاسخ مثال دوم دنباله هندسیما این پاسخ را از محاسبه گر بالا به دست آوردیم. به جای جمله اول عدد 2 و به جای قدر نسبت عدد 3 قرار دادیم برای آنکه جمله شماره 12 را به دست آوریم به جای n  عدد 12 قرار دادیم. مشاهده می کنیم که پاسخ نهایی عدد بزرگی است. این نشان می دهد که رشد نمایی دنباله هندسی می تواند خیلی زیاد باشد.

مثال 3: جمله اول یک دنباله هندسی 5 و جمله چهارم آن 135 است. قدر نسبت این دنباله چند است؟
پاسخ:
پاسخ مثال سوم دنباله هندسیاین پاسخ را نیز از محاسبه گر بالا به دست آوردیم. به جای جمله اول عدد 5 و شماره جمله را 4 و جمله چهارم نیز برابر 135 قرار دادیم. قدر نسبت برابر 3 شد.


3 - واسطه هندسی بین اعداد


منظور از واسطه هندسی این است که بین دو عدد، اعداد دیگری قرار دهیم طوری که تشکیل دنباله هندسی بدهند. فرض کنید می خواهیم بین  دو عدد، تعداد k عدد قرار دهیم که تشکیل دنباله هندسی بدهند. کافی است که از n = k + 2 استفاده کنیم. 
مثال 4: بین دو عدد 2 و 432 تعداد 2 واسطه هندسی قرار دهید.
پاسخ:
پاسخ مثال واسطه عددیاین پاسخ را می توان به راحتی از محاسبه گر بالا به دست آورد. می خواهیم 2 واسطه هندسی، بین دو عدد 2 و 432 قرار دهیم بنابراین کلا تعداد 4 عدد خواهیم داشت. در نتیجه به جای n عدد 4 را قرار دادیم تا قدر نسبت به دست آید. در نتیجه این دنباله به صورت زیر است. زیر 2 واسطه هندسی خط قرمز کشیدیم.

432 ،  72 ، 12 ، 2


امتیاز دهی

ممنون که با دادن امتیاز، باعث دلگرمی ما جهت ادامه کار می شوید.
1 2 3 4 5

تعداد رای = 1
میانگین امتیاز 5 از 5

بخش نظرات

نظر"محنا":
ممنونممممم کمکم کرد
پاسخ "ژرفنما" به این نظر : باعث خوشحالی است.
نظر"احسان":
خوب بود
پاسخ "ژرفنما" به این نظر : خوشحالم که از نظر شما مفید است

×