محاسبه گر احتمالات
دو پیشامد مختلف، یعنی پیشامد A و پیشامد B را در نظر بگیرید احتمال رخ دادن هر کدام را در ورودی های زیر وارد کنید و دکمه محاسبه را کلیک کنید. تمام احتمال های ممکن را به صورت کاملا تشریحی دریافت می کنید
اعدادی که وارد می کنید از صفر تا 1 هستند. مثلا 0.4
1 - احتمالات ریاضی در زندگی
کیفیت تصمیم های انسان در زندگی او اثر زیادی دارد. اینکه چگونه تصمیم درست بگیریم به دانش و آگاهی ما بستگی دارد. احتمالات بیانگر واقعیت هایی است که ما به طور قطعی نمی توانیم آن را پیشگویی کنیم.دو چیز است که وضعیت زندگی ما را تعیین می کند: کیفیت تصمیمات و شانس. بسیاری از افراد، بهترین تصمیمات خود را چیزی می دانند که بهترین نتیجه را داده است. آیا واقعا این درست است؟ خیر زیرا این افراد، موضوع مهم شانس و پدیده های اتفاقی و غیر قابل پیش بینی را فراموش کرده اند.
وقتی یک متخصص کارکشته تصمیمی می گیرد که به نتیجه بد منتهی می شود، همه تعجب می کنند. اما حقیقت چیست؟ واضح است حوادث و پیشامدهای غیر قابل پیش گویی. مثلا شما یکی از بهترین سهام ها را خریداری کرده اید. اما این سهام برای شما فقط ضرر داده است. چرا؟
اینجا است که علم احتمالات ریاضی به داد ما می رسد. این علم تلاش دارد اتفاقات آینده را با ارائه درصد وقوع آن، به طور علمی پیشگویی کند.
2 - مفهوم احتمال چیست؟
مسابقه فوتبال را در نظر بگیرید. فرض کنید یک بازیکن با احتمال 90 درصد توپ را وارد دروازه می کند. این شخص توپ را شوت می کند نمی توان به طور قطع و یقین گفت که توپ وارد دروازه می شود. معنی آن این است که اگر 100 پرتاب انجام دهد انتظار می رود 90 پرتاب آن وارد دروازه می شود.شاید فکر می کنید از کجا باید بفهمیم که 90 پرتاب گل می شود. می گوییم فرض کنید مربی 10 پرتاب به این بازیکن داده که 9 تای آن وارد دروازه شده است. پس نتیجه می گیریم احتمال گل کردن او 90 درصد است.
باز شاید بپرسید این بازیکن همیشه از 10 پرتاب 9 تای آن را گل می کند؟ می گوییم خیر ممکن است 8 تا یا 10 تای آن را گل کند اما خیلی بعید است که مثلا فقط 1 پرتاب را گل کند.
نتیجه ای که می گیریم احتمال بهترین پیش بینی را نشان می دهد نه پیش بینی قطعی
3 - فضای نمونه و پیشامد
فضای نمونه یعنی مجموعه تمام حالت های ممکن.
مثلا یک تاس را پرتاب می کنیم. فضای نمونه آن عبارت است از مجموعه {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} علت این است که ممکن است هر یکی از عدد های این مجموعه در پرتاب تاس ظاهر شود. حالا چرا عددی مانند 7 داخل این مجموعه وجود ندارد. پاسخ ساده است زیرا یک تاس استاندارد 6 وجه دارد که عدد 7 روی هیچ وجه آن قرار ندارد و نمی تواند در پرتاب ها ظاهر شود.
پیشامد یعنی برخی از حالت های ممکن که مورد سوال است.
پیشامد از دو کلمه پیش و آمد تشکیل شده است. یعنی آنچه که پیش می آید و رخ می دهد. به همین دلیل به آن رویداد نیز می گویند. اما اگر بخواهیم دقیق تر بررسی کنیم. هر زیر مجموعه از فضای نمونه یک پیشامد است. به عبارت دیگر مجموعه ای از برخی نتایج ممکن. مثلا پیشامد اینکه در پرتاب تاس، عدد 2 رو بیاید به صورت {2} است و یا اینکه عدد رو آمده بزرگتر از 4 باشد به صورت { 5 , 6 }است.
مثال یک گردونه شانس دارای هشت قسمت است. اعداد 1 تا 8 روی قسمت های آن مطابق شکل روبرو نوشته شده است. این گردونه را می چرخانیم. احتمال آنکه عددی که در مقابل علامت قرمز می ماند بین 4 و 7 باشد چقدر است؟- ابتدا فضای نمونه را مشخص می کنیم که برابر { 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 } است.
- پیشامد مورد نظر ما مجموعه { 6 ، 5 } است زیرا باید بین 4 و 7 باشد.
- فضای نمونه 8 عضو دارد مجموعه پیشامد 2 عضو دارد بنابراین احتمال وقوع این پیشامد برابر 2/8 یعنی 0.25 است. اگر بخواهیم به صورت درصد بیان کنیم آن را در 100 ضرب می کنیم که برابر 25 درصد می شود.
4 - مفهوم احتمال
احتمال عددی است از 0 تا 1 که میزان اطمینان ما از وقوع یک پیشامد را نشان می دهد. گاهی آن را در 100 ضرب می کنند و به صورت درصد بیان می کنند. مثلا می گوییم به احتمال 99 درصد فردا باران می آید. یعنی اطمینان ما از این عمل بسیار بالا است. اما فراموش نکنیم نمی توانیم قطعا بگوییم باران می آید. مگر آنکه احتمال آن 100 درصد باشد که در این صورت قطعا باران می آید.
احتمال را می توان به صورت نسبت اعضای مجموعه پیشامد به مجموعه فضای نمونه تعریف کرد. پس برای محاسبه احتمال تعداد اعضای مجموعه پیشامد را بر تعداد اعضای مجموعه فضای نمونه تقسیم می کنیم.
5 - احتمال متمم
برای آنکه مفهوم متمم را بررسی کنیم از شکل روبرو استفاده می کنیم. این نمودار ون است. پنج حرف الفبا را در آن نوشتیم. هر یک از احتمال ها را بررسی می کنیم.- P(A) یعنی احتمال آنکه این حروف در مجموعه A باشد. 2/5 یعنی 0.4 است. زیرا دو عضو { m , n} از پنج عضو در مجموعه A وجود دارد.
- P(B) یعنی احتمال آنکه این حروف در مجموعه B باشد. 3/5 یعنی 0.6 است. زیرا سه عضو { n , o , p} از پنج عضو در مجموعه B وجود دارد.
- P(A') منظور از متمم مجموعه A، اعضایی است که در مجموعه A نیست. یعنی { o , p , q} است. احتمال آن نیز 0.6 است.
- P(B') منظور از متمم مجموعه B، اعضایی است که در مجموعه B نیست. یعنی { m , q} است. احتمال آن نیز 0.4 است.
6 - اجتماع دو پیشامد و اشتراک دو پیشامد
اجتماع دو پیشامد، حالتی است که حداقل یکی از پیشامدها رخ بدهد. یعنی این عضو یا در A باشد و یا در B و یا اینکه در هر دو باشد. در شکل روبرو،{ m , n , o , p} اعضایی هستند که در اجتماع دو مجموعه قرار دارند. احتمال وقوع اجتماع دو پیشامد در این مثال، برابر 4/5 یعنی 0.8 است.
اشتراک دو پیشامد، حالتی است که دو پیشامد همزمان رخ دهد. یعنی عضوی که هم در A و هم در B وجود داشته باشد. در شکل روبرو { n } عضوی است که در اشتراک دو مجموعه قرار دارند. احتمال وقوع اشتراک دو پیشامد در این مثال، برابر 1/5 یعنی 0.2 است.
7 - تفاضل متقارن
تفاضل متقارن، بیانگر احتمال آنکه پیشامد A رخ دهد و B رخ ندهد یا پیشامد B رخ دهد و A رخ ندهد. اعضایی که در A است ولی در B نیست و یا اینکه در A است ولی در B نیست. این اعضا شامل { m , p , o} است. احتمال آن در این مثال 3/5 یعنی 0.6 است دقت کنید که شامل n و q نیست.8 - احتمال شرطی
احتمال شرطی بیانگر وقوع یک پیشامد است به شرط آنکه پیشامد دیگری رخ داده باشد. در این صورت پیشامدی که رخ داده است مانند فضای نمونه عمل می کند.
مثال: یک تاس را پرتاب می کنیم. عددی که رو آمده است زوج است. احتمال آنکه این عدد 2 باشد چقدر است؟ فضای نمونه ما دیگر تمام اعداد نیست بلکه { 2 , 4 , 6} است. پیشامد مورد نظر ما عضو مجموعه {2} است پس احتمال وقوع آن 1/3 است.
بخش نظرات